摘要

在本文中，我将从拓扑学中最基本的多面体欧拉公式展开，从新考虑了建筑的语汇。从拓扑等价的观点，将各种建筑的构型分类，并指出在这种观点下，建筑师需要将更多的精力放在空间的拓扑对建筑使用者的感受等问题上。由于在这种观点下，建筑师需要能够随意地实行拓扑变换，这种变换的最大敌人是万有引力。然而通过技术，可以挑战这个限制，使得建筑给人奇迹性。基于这样的观点，我猜测董老师上课所述的拓扑对称的含义，并给出适当的解释。全文的最后，我提供了两个关于拓扑和建筑相关联的具体例子，表明了在现当代建筑设计中，一些特殊空间的拓扑性质确实对建筑的设计产生了影响。

关键词：拓扑，拓扑等价，万有引力，拓扑对称，莫比乌斯带，克莱因瓶屋

前言

作为一个数学专业的本科生，每当听到数学以外的学科引用拓扑两个字，我都会审慎地看待，因为拓扑，作为一个时髦的词汇[1]，很容易被挪作他用。我个人的态度是，如果一个学科仅仅是借用了另一个学科的一个术语或者概念，但没有用到其核心思想或者相关的基本结果，这种术语的引进也仅仅是在构建一种学科壁垒，或者增加神秘感。倒不如在引进词汇的同时，给出在这个学科中内蕴的定义和阐释。

董老师上课的时候，曾提到过一次拓扑对称，我自然而然审慎起来，究竟建筑学中的拓扑是什么？以下只是我在课程的学习中得到的一些观察以及其对我的一些启示，都是关于建筑与拓扑。

回顾拓扑学研究的对象，在数学中称之为工作范畴：拓扑学的研究对象是拓扑空间和他们之间的连续映射。用不严格的语言说，就是研究连续变化下空间的性质（那些不变的性质称为拓扑不变量）。

从柏拉图形体谈起

建筑中确实有一些例子与拓扑学有关，例如在前几节课程中提到的柏拉图形体（也就是三维空间中的正多面体，如图1所示），一个自然的问题，为什么柏拉图形体只有五种，即正四面体，正方体，正八面体，正十二面体，正二十面体。事实上，这个问题恰是拓扑学。它涉及到拓扑学中的欧拉[2]定理：三维空间中的凸多面体，其面数加顶点数减去棱数等于二。正是这个方程导致了柏拉图形体在总数上是有限的。

图1: 五种柏拉图形体柏拉图形体

拓扑等价观点下的结构

从拓扑的观点看，可以考察更一般的建筑设计理论，例如在考虑的几何图解的深层结构的时候，我们完全可以忽略刚性带来的性质，取而代之的是在连续形变等价下的深层结构，让我们看几个简单的例子，如图2所示：

图2: 两组拓扑等价的剖面

从拓扑的观点看，两组图中的图解都是等价的。这样做的好处在于使得建筑语言中的基本元素个数更加精简，而产生的语句则更加丰富。

但是在论及深层解构的有限性的时候，我们发现即便是在精简了基本建筑语言的元素之后，其可能性还是无穷的，这种无穷性带给拓扑深层结构以复杂性，毕竟对于有限的事物，人类往往能够将其完全掌握其实质而变得简单。

拓扑性质与功能主义

其实这种看法在生活中是很常见的，例如我们买房子的时候，总会先考虑要买几室几厅的房子，再考虑面积，最后考虑具体的地段，环境，物业，价钱等因素。我们注意到“几室几厅”是一个拓扑不变量，房子任意的形变，室和厅的个数都不会发生变化。再例如，我们考虑空间的连通性的时候，我们可能会要求厨房尽量紧挨着餐厅（有佣人烧饭的豪宅除外），这种伴随着功能的空间连通性常常也放在建筑设计的首要位置。这两个例子从某种程度上说明了拓扑上的限制常常是来源于人内心最基本的一种需求（常常是对功能的需求），但它又常常被认为是理所当然的从而消失在视野之外。

关于那些让人觉得是神迹的结构，于是变得不惊奇了，他们与过去的结构有什么不同？无外乎唤起了人们对建筑工艺技术的崇拜感，而这些结构对建筑学本身讨论的重点却无益。关于结构最富有实质意义应该是考察它的基本元素，例如，对于拓扑不同的元素，考察它对使用者产生不同的感受。

图3: 古根海姆博物馆

赖特的古根海姆博物馆（见图3）可以看成一个长廊盘旋而上，那它与长长的画廊有什么区别，所有关于画廊的特有性质，就是赖特的博物馆的特有性质，画廊让人有一个方向，而画廊中的画又能让人停止在这个固定方向的移动，古根海姆博物馆又何尝不是如此呢？它们在功能上确实是一样的！

波尔多住宅的神奇在于它通过一个升降平台将一楼和二楼连通起来，这种连通性质在不考虑重力的情况下是让人感到惊奇的，我们可以设想如下的两个场景（如图4所示）：

图4: 波尔多住宅

左边的图表示波尔多住宅的用户可以通过升降电梯从一楼过到二楼，但若是没有升降电梯，我们如何才能平缓地到达二楼呢？如果不考虑重力的话，右边的建筑是可以实现的，但绝不是地球上的建筑。

挑战万有引力

可以认为拓扑学中的限制是某种程度上最基本的限制，例如保定向刚体变换（即在空间中的平移和旋转）可以认为是连续形变的一种，而伸缩变化就不是三维空间中的刚体形变（伸缩变化会改变距离），镜面对称虽然是刚体变换，但是它不是保定向的，但是这两者都是连续的拓扑变换，由此可见拓扑上的限制在某种程度上是最基本的限制。

早期的建筑由于受到工艺的约束，从而其建筑的基本语汇也受到了约束，当然建筑语汇发生过几次进化，从过去的拱券，穹窿到后来的平顶，大出挑的屋顶，现代建筑更是有其被人视为结构奇迹的语汇。然而，平顶和穹窿又有什么区别，只不过是弯曲程度的不同，他们是相同的基本元素，只是技术的限制导致了穹窿更容易实现。屋顶出挑的多少在拓扑上也没有区别，反倒是否出挑就有了区别。

当然这种拓扑元素的自由表达在一定程度还是受到限制的，就像之前提到的欧拉公式那样的限制。这种限制可能来自于建筑所处环境的限制，来自建筑使用者的限制，来自技术的限制和资本的限制，最重要的限制，我认为应当是地心引力的限制。
地心引力的限制使得我们有时候无法进行拓扑上的任意形变，例如在MVRDV设计的这栋公寓中，我们就不能认为它的剖面和左右等分的剖面是一致的（如图5所示）。

图5: 孪生公寓与它拓扑等价的房屋

可见在水平方向拓扑变换更加容易实施，而在竖直方向上，即万有引力的作用方向上，拓扑变换就不能随意实行，这就是为什么对竖直方向结构的特殊设计会让人更加感到惊奇的原因的一方面。

现代技术已经拥有各种能力去挑战万有引力了，但一味地为了挑战而建筑，一味地为了奇迹而建筑，一味地为了出彩而建筑，似乎又偏离了正轨。不如我们只是将精力放在基本空间分割特征等更抽象的问题上来讨论建筑空间的本质，这样思考也帮助建筑师能够更专注在关键的问题上。

当然，我们也可以将这些限制看作自由表达的目标，从而最重要的限制便成了最基本的目标。考虑拓扑上的不同的空间划分对建筑的影响，这种讨论超越技术的限制，从而更能适用不同时期的建筑理论，甚至，在技术足够发达的未来，我们能够随意地讨论在外太空人类的住所在无重力情况下的建筑理论。

拓扑对称[3]

如果说，建筑的有维度，我会将拓扑结构，材质表现，实用功能等纳入这些维度中。

当我们要体现其中一个维度的时候，我们会主要放大这个维度，并同时减小其他维度，至少我们可以在每一个局部都这么操作。比如在此处着重表现建筑的材质，在彼处则强调其功能。

现代寻找出彩的方式大都如此，因为很少人能驻足欣赏，为了能留住眼球，只能“博彩出众”。

图6: 楼梯的两种不同对称

如图6所示，谁会注意到一个有左右对称楼梯的房屋呢？为了突出其拓扑的对称性，我们可以将这个对成变为中心对称，使得其功能的维度降低，这样不但挂在空中的楼梯被注意到了，人们还能注意到地上的楼梯，以及它们之间的对称性。这种对称性在突出拓扑结构的同时，还挑战了约束拓扑变化的地心引力，其奇迹性也是不言而喻的。

模度

在考虑完建筑的拓扑性质之后，随之而来的就是建筑中具体模度的确定。

在不考虑模度的时候，建筑甚至可以是一个模型，是随意丢弃的一团纸。建筑模型与建筑的差别只是一个等比例的缩放，在拓扑的观点下，他们是等价的，没有差别，但模型毕竟不是建筑本事，而是未建成的建筑。

决定了拓扑结构之后，建筑师只是有了一个模糊的建筑概念，具体化建筑模度仍然是实现建筑的重要步骤。这个步骤使得建筑能够适应使用者的尺度，从而在建筑的维度中加入了人的因素。

从莫比乌斯带到克莱因瓶屋

最后谈谈其他方面拓扑与建筑的联系，会涉及到具体的例子。

当一个研习数学的人和普通人谈论拓扑空间的时候，我相信大多数人都会提到莫比乌斯带（如图7所示），它虽然是一个二维的带边曲面，但是它只有一个面，倘若有一只蚂蚁在上面爬行，它会爬遍整个曲面的各个角落，这样特殊的拓扑构型被用在了家具设计上，也有大桥或走道（如图8所示）借用了这样的造型。

图7: 莫比乌斯带

图8: 莫比乌斯造型的空中走道

当然，这样的造型在三维空间中大部分是没有实用意义的，对于走道，由于地心引力的缘故，人不可能从一个面走道另外一个面，又是地心引力！

记得上课的时候董老师讲了一个例子，说一个人要造一个房子里面就是外面，外面就是里面。这和之前莫比乌斯带的感觉很类似，在拓扑学中确实有这样的例子，一个没有边界的曲面（之前的莫比乌斯带是有边界的，而且只有一条边界，注意没有边界不是无限的意思），而且只有一个面，它就是克莱因瓶（如图9所示）。

图9: 克莱因瓶（三维空间中会自交）

有趣的，确实有一个建筑自称克莱因瓶屋，如图10所示。

图10: 克莱因瓶屋

通过这个建筑的图纸，我并没有发现他和克莱因瓶的关系，但从杂志上的一张室内照片（如图11所示）我们可以看出它确实连通了室内和室外，而且还将室外包在了室内。其实这个时候，在这个建筑物中的人已经很难区分室内和室外的区别了。在这张照片的下方写着如下注释：

The building (we think) is also within that tradition of the use of an experimental geometry that could be adapted to more suitably meet contemporary needs and desires. In that sense it is within the heroic tradition of invigorating the very nature of the home, most notable of this tradition would be the great experimental heroic houses by Melbourne architects in the 50’s (McIntyre and Boyd in particular).

The house revolves around a central courtyard, a grand regal stair connecting all the levels. There is a sense of both being near and far to all occupants.

Its endless, curing shell-like quality particularly in the tee tree brings about a comforting togetherness.

图11: 克莱因瓶屋内部

很明显，这种空间结构的实验给使用者以不同的感觉。室内和室外能有机融合在一起的概念是建筑师全新的设计，这灵感正来自于对克莱因瓶的认识。
以上两个都是关于一些特殊的拓扑结构给建筑造型的启示，之所以是这样本质不同的建筑造型才能带给建筑语言以丰富多彩的表达。

后记

由于没有找到文献系统阐述建筑与拓扑的关系，以上拙见仅仅是基于我现有的知识与这学期老师讲述的课程内容（并且我很可能只正确理解了其中极小一部分），很多地方使用的证据和术语的运用可能并不确切，望老师多多包涵。

注 1 在近代大量的学科都开始使用它，而在数学的历史中，拓扑学已经有300年左右的历史。

注 2 欧拉，18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。

注 3 以下只是我的猜测，并没有文献支持这样的观点。