感谢作者司空白（哈佛大学建筑学），将本文授权「专筑网」发布

在一定程度上，建筑就是数学的物质化表达。

因为数学是揭示我们所存在于的世界中的规律的学科，而建筑是基于人类对这些规律认知之后付诸实践的产物之一。

如果稍微研究一下艺术与数学的发展，不难发现这两者很多时候是互相促进甚至一体的——文艺复兴时期绘画、雕塑和建筑中对透视关系和人体比例的研究，无疑促进了几何学等相关学科的发展；反过来，近现代数学、计算机科学和材料科学等的发展，让很多建筑结构和形式不再只是纸上谈兵，得以最终建成而不只遗憾地停留在二维和模型的阶段。

这个回答继续沿用之前其他对问题的回答的规则：已经由其他答主举出的例子尽量不再重复；（如无特殊情况）只讨论建成案例；尽量只讨论建筑作品，不涉及雕塑、家具、产品设计等领域。

为了避免把这个回答写成一篇类似于《复杂曲率曲面标准构件的平面展开算法在节能建筑立面设计中的应用》这样的论文（虽然我也确实写不出来），选的案例应该会比较直观，主要使用图示而非公式就可以解释清楚（因为好多公式我其实也看不懂）……

这次不采用分类的格式了，因为分类本身就是一个工作量巨大的任务……所以随性写一点。


1. 东京国立代代木竞技场. 丹下 健三. 1961-1964.

东京国立代代木竞技场（Yoyogi National Gymnasium，图 1-6）是丹下健三为 1964 年东京奥运会设计的体育场馆，最开始为游泳和跳水馆，现在主要用于篮球等室内项目。丹下健三巧妙地处理了体育馆的屋顶结构，从建筑中轴线上的主体钢索结构两侧舒缓而流畅地展开的曲面屋顶，兼顾了工程结构的理性和建筑造型的美感，同时也保证了场馆内部中央的采光条件。而这样处理达到的平缓、谦和的建筑外观，也有效地消解了体育馆较大的尺度带来的压迫感和突兀感，与周围的代代木公园（东京市内最大的公共公园）的景观相处融洽（图 6）。这也是前两年扎哈 - 哈迪德的新东京奥运会场馆引起比较大争议的原因之一：与这座现代主义经典对比，扎哈的设计更多了几分张扬个性，而没有兼顾到周边的环境（此处不评判高下，只是陈述当时很多日本建筑师反对的潜在心理原因）。


图 1：国立代代木竞技场. 外景. 图片来源：Yoyogi National Gymnasium


图 2：国立代代木竞技场. 室内. 向两侧展开的屋顶保证了场馆中央的采光条件. 图片来源：Yoyogi National Gymnasium


图 3：国立代代木竞技场. 局部实景. 图片来源：National Gymnasium for Tokyo Olympics / Kenzo Tange ⋆ ArchEyes


图 4：国立代代木竞技场. 原始立面图纸. 图片来源：https://en.wikiarquitectura.com/Nac_Gym_Tokyo_68


图 5：国立代代木竞技场. 结构分析轴侧图. 可以看到中间作为主体悬挂结构的钢索和屋顶曲面结构的分解. 图片来源：https://en.wikiarquitectura.com/Nac_Gym_Tokyo_68


图 6：国立代代木竞技场与周边环境. 鸟瞰. 图片来源：视觉中国 - 首页


丹下健三作为深受柯布西耶影响的日本现代主义建筑早期大师级人物，直接开启了日本建筑师在二战后现代主义大潮下的探索与创新，并于 1987 年荣获建筑界最高荣誉普利茨克奖。如今在国际建筑界享誉的日本建筑师如矶崎新、桢文彦、伊东丰雄、妹岛和世、西泽立卫等等，都是出自丹下一脉（图 7）。


图 7：二战后日本建筑师主要系谱. 图片来源：盘点日本著名建筑师及思想的传承之路 - 焦点 - 中装新网 - 中国建筑装饰协会官方网站


2. 东京圣玛利亚主教座堂. 丹下 健三. 1964.

这座教堂（St. Mary's Cathedral, Tokyo）是天主教东京主教区的主教座堂（教区主教所驻教堂）。因为最初的哥特式教堂建筑在二战中毁于战火，丹下健三重新设计了新的教堂并于 1964 年完成重建（图 8）。


图 8：圣玛利亚主教座堂. 南侧立面. 图片来源：St. Mary's Cathedral, Tokyo


教堂的平面呈现出一个巨大的十字形，契合了主教堂的宗教寓意（图 9）；而外立面采用了八片双重直纹曲面（Doubly Ruled Surface/Hyperbolic Paraboloid）拼接而成（图 10）。


图 9：圣玛利亚主教座堂. 俯拍. 图片来源：http://blog.livedoor.jp/konnnatv/archives/32301625.html


图 10：圣玛利亚主教座堂. 鸟瞰. 图片来源：日本の珍スポット２４２　東京カテドラル聖マリア大聖堂 - 話のコレクション


双重直纹曲面（图 11）是建筑建造中常用的一种曲面造型。因为这种曲面是由顶端和底部两条异面直线控制的、且两端控制线上对应两点之间都是由直线连接，因此便于混凝土的造型与施工中的精度管控，并获得如图 8 中立面照片所示的纯净的大尺度曲面。同时，由顶部狭窄的十字形状的直线，向底座处向四方展开的控制线转化的过程中，使内部获得了更为寥廓而又不失高耸的空间尺度，以及编排精确的带有宗教神圣感的光影体验（图 12）。


图 11：双重直纹曲面. 曲面上每个点都有两条分别平行于 xz 平面和 yz 平面（x,y,z 分别为图中长，深，高三个方向上的轴线）的直线经过，所以叫做“双重”直纹曲面. 图片来源：Paraboloid - Wikipedia


图 12：主教座堂内部. 由立面的扭转带来的开阔的室内空间. 图片来源：


3. 旧金山圣母升天主教座堂. 多人合作设计. 1971.

说到东京的圣玛利亚主教堂，就不得不提一下它在太平洋另一端的“姐妹”——旧金山圣母升天主教座堂（Cathedral of Saint Mary of the Assumption）：都以天主教的圣母玛利亚为主要崇拜对象，极其相似的十字平面和八片双曲面构成的白色主立面，一样寥廓神圣的室内气氛……（图 13-17）而更值得一提的是，参与这座教堂设计的设计师中，除了几位旧金山当地的建筑师之外，还有一位天才的意大利建筑师 / 结构师：皮埃尔 - 路易吉 - 奈尔维（Pier Luigi Nervi）。他的设计融合了建筑造型的感官美与结构计算的理性美，比如罗马小体育宫、弗洛伦萨弗兰基体育场等（图 18-24）。


图 13：旧金山圣母升天主教座堂. 正立面. 可以清楚地看到双曲面的弧度. 图片来源：AD Classics: The Cathedral of St. Mary of the Assumption / Pietro Belluschi and Pier-Luigi Nervi


图 14：内部结构. 混凝土结构基座与三角形肋梁. 图片来源：The Cathedral of St. Mary of the Assumption


图 15：绚烂而神圣的天光. 图片来源：Saint Mary of the Assumption in San Francisco - Another Angle


图 16：内部空间. 图片来源：Saint Mary of the Assumption in San Francisco - Another Angle


图 17：内部空间. 图片来源：Cathedral of Saint Mary of the Assumption (San Francisco, California)


4. 罗马小体育宫. 皮埃尔 - 路易吉 - 奈尔维. 1958.

罗马小体育宫（Palazzetto Dello Sport of Rome）是 1960 年罗马夏季奥林匹克运动会的练习馆，兼作篮球、网球、拳击等比赛的场馆。

引用一段描述文字：

“ 奈维的设计是在原有的一个直径为六十米的圆形平面上加一个钢筋混凝土薄壳圆顶。这是一个象反扣过来的荷叶似的屋顶，边缘的波浪起伏用来加强屋顶的牢度和室内的照度。屋顶的内侧附有肋梁，可将整个屋顶分割成能够预制的菱形槽板。屋顶由三十六根 Y 形支柱支撑。这暴露在周围的 Y 形支柱，为体育宫的外形增加了节奏感和力量感，赋予建筑鲜明的个性。体育宫的内部天花由菱形的槽板和弧线形的肋梁组成一幅精美的图案……奈维在设计程序上，首先是探讨施工方法，其次是应力问题，最作品后才考虑美观，并且将建筑的使用要求、结构受力和建筑艺术巧妙地揉合在一起。在这里，美是符合逻辑的必然结果。 ”【注 1】


图 18：小体育宫. 外景. 图片来源：视觉中国 - 首页


图 19：小体育宫外立面. 可以看到 Y 形支柱仿佛人的双臂向上支撑体现出的力量美感. 图片来源：https://new.liveauctioneers.com/item/9815488_nervi-pier-luigi-palazzetto-dello-sport-rome


图 20：内部. 薄壳屋顶和肋梁带来的结构美感与开放明亮的室内空间. 图片来源："Pier Luigi Nervi. Architecture for Sport" at MAXXI Rome - BMIAA


图 21：天花结构平面. 结构的秩序. 图片来源：https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/736x/13/5e/d5/135ed55a0e3b750543a20e918eaac3c7.jpg


图 22：屋顶结构的三维模型. 图片来源：[TUTORIAL] Palazzetto dello Sport - Nervi - Corsi Rhino


5. 弗洛伦萨弗兰基球场. 皮埃尔 - 路易吉 - 奈尔维. 1931.

这座球场最开始名为弗洛伦萨市立球场，也是奈尔维的成名作。

……市政当局要求在部分看台上加雨棚但不能遮挡视线。奈尔维反复研究，设计了一 个悬挑 22 米，长 100 米的钢筋混凝土结构，轮廓象是弯矩图。这个作品当即受到建筑界的赞誉，认为它结构巧妙合理，建筑造形简洁优美。对于看惯 了梁板柱的眼睛来说，真是别开生面。【注 2】


图 23：弗洛伦萨弗兰基球场雨棚设计. 轻巧到反重力的外形. 图片来源：Zadaszenie stadionu we Florencji – Pier Luigi Nervi 1932


图 24：雨棚结构剖面图. 图片来源：https://www.pinterest.com/pin/26599454021228098/

既然回到了现代主义的年代，那我们就无法绕开现代主义中对几何完形运用最为出神入化的大师——路易 - 康。虽然不像奈尔维那样在作品中用令人惊叹的结构体现了理性的数学思维的美感，但是康善于利用几何形式营造空间体验的高超手法则是当世无出其右的。


6. 菲利普斯 - 埃克塞特学院图书馆 （Phillips Exeter Academy Library）. 路易 - 康. 1971.

虽然这座位于新罕布什尔州埃克塞特的全世界藏书规模最大的中学图书馆似乎并没有康的诸如 Salk Institute，Kimbell Art Museum，耶鲁大学艺术馆等其他作品那样广为人知，但是建筑师成功地在室内将近人尺度的空间细节和半私密性的个人阅读体验与利用几何完形营造的宏大尺度和庄严气氛相（图 25-27）结合，达到的效果——

“ 正如建筑评论家威廉·马林所说的：艾塞克图书馆不是一个图书馆，它是对图书馆、图书馆精神的一个探寻，也是对人类几千年积累的知识(智慧)的探索，经由它的存在，人类也得以获得存在。 ”【注 3】


图 25：“ 中庭四周巨大的方形混凝土墙面上开着四个大尺度的圆形孔洞，透过孔洞可以看到书架区，在这里，书向人们发出了邀请 ”（引文出处同注 3）. 图片来源：https://www.flickr.com/photos/25831000@N08/6288381593


图 26：内部剖面模型. 图片来源：https://www.pinterest.com/pin/524810162798239213/


图 27：屋顶的十字梁. 与内部立面的圆在几何以上形成了鲜明对比. 图片来源：https://www.flickr.com/photos/25831000@N08/sets/72157627871997333/with/6288381593/


7. 金贝儿美术馆 （Kimbell Art Museum）. 路易 - 康. 1972.

康设计的这座金贝儿美术馆更为知名，也是他经典的代表作品之一（图 28-30）。最令人印象深刻的莫过于外部比例优雅的六个并列的拱顶组成的立面，以及内部巧妙的天光设计获得的柔和的自然光。而这两者得以实现的根源，在于设计中康采用了摆线（Cycloid）作为拱顶壳体的形状（图 31-32）。摆线是一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹（图 33）。 它具有一些很有趣的几何特性，比如它是等时降落问题的解： 将一质点放置在摆线上任一点，其自由下滑(不计阻力)至最低点所需的时间皆相等。

在金贝儿美术馆的拱顶设计中，摆线的优势在于它较之其他弧线（半圆，抛物线，椭圆等）轮廓更为低矮舒缓，正好可以满足金贝儿美术馆的拱顶所需要的有一定跨度，保证下方空间连续无干扰的特点；同时也可以利用均匀的曲面弧度保证自然光从天光进入后的漫反射，达到室内所需的柔和自然照明。






图 28-30：金贝儿美术馆. 富有古典美的造型比例与室内柔和的天花采光. 图片来源：AD Classics: Kimbell Art Museum / Louis Kahn


图 31：摆线形拱顶示意图. 图片来源：Structures + Architecture


图 32：摆线形拱顶剖面示意图. 图片来源：http://www.solness.ee/maja/static/newspaper/93.5.jpg


图 33：摆线（Cyloid）示意图.图片来源：http://anujdaga.blogspot.com/2010/06/cycloid.html


8. 美国空军学院 - 士官学员礼拜堂 （United States Air Force Academy Cadet Chapel）. SOM. 1963.

现代主义之所以被很多人认为是建筑的高峰，大概在于彼时的建筑业是为当时世界提供创新的动力的：新型的建筑，新型的建造。除去大师们的单人作品，今天看来“利欲熏心”（玩笑）的大型商业事务所，也在那个年代带给我们很多耳目一新的建筑作品，比如这座 SOM 设计的美国空军学院礼拜堂（新教教堂部分，图 34-42）。直接摘录 SOM 中文网站上对项目的描述（我实在是不可能写得更好了……）：

士官学生礼拜堂是 SOM 的总体规划和美国空军学院（U.S. Air Force Academy）整个校园设计的焦点建筑元素。这座引人注目的建筑由 17 个玻璃与铝材构建的尖塔串列组成——每个尖塔由 100 个四面体（钢结构，如图 35——笔者注）构成——围合礼拜堂的上部。连续不断的璀璨玻璃面板包覆管状四面体，让光弥散在建筑之中。

高 46 米（150 英尺）的教堂坐落于毗邻荣誉庭院（Court of Honor）的墩座上。建筑的功能空间包含 3 个各不相同的教堂：拥有 900 个座席的新教教堂、拥有 500 个座席的天主教教堂和拥有 100 个座席的犹太教教堂。每个教堂均设有独立入口。位于主楼层的新教教堂由挤压铝贴面的一系列四面体构成外围护，各四面体之间由连续的彩色玻璃面板分隔，窗户则由特殊的夹胶玻璃构成……【注 4】


图 34：美国空军学院礼拜堂. 外景. 图片来源：United States Air Force Academy Cadet Chapel


图 35：覆盖铝制蒙皮之前的四面体钢结构. 图片来源：视觉中国 - 首页


图 36：外立面施工中的教堂结构. 图片来源：https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/736x/5d/77/dc/5d77dc20b332a532627847368af98bde.jpg


图 37：教堂侧立面. 图片来源：Gallery of AD Classics: USAFA Cadet Chapel / Walter Netsch of Skidmore, Owings, & Merrill - 7


图 38：夕阳下的礼拜堂（前景目测是一架 F-15C）. 图片来源：http://www.usafa.af.mil/Leadership/Chaplain-Corps/Cadet-Chapel/


图 39：礼拜堂内部. 图片来源：The Colorado Springs Convention & Visitors Bureau


图 40：礼拜堂内部. 图片来源：21 Awe-Inspiring Photos Of The Air Force Academy Cadet Chapel


图 41：外立面细部. 图片来源：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Chapelclose.jpg


图 42：美国独立日夜幕焰火下的礼拜堂. 图片来源：http://www.usafa.af.mil/News/Article-Display/Article/428707/academy-to-host-july-4th-fireworks-at-falcon-stadium/

最后放点五十年前的建筑施工图纸。










图 43-47：教堂的施工图纸。可以看到四面体结构的拼接和建造细节。图片来源：United States Air Force Academy Class of 1975


小结

看到这个问题的时候正好在阅读一些关于日本战后新陈代谢派的文字，所以就想到了丹下健三的代代木竞技场，由此下笔。本来想更加详细地分类，但是发现确实力有不逮，也就只好把其他回答中没有提到的一些建成案例拿出来按照一个松散的主线写一写。数学是应用在每一座建筑的设计与建造中的，如开头我所言，“建筑是数学的物质化表达”。这正好像是解一道数学题，虽然获得正确答案的解法有很多种，但是一定有一些解法是数学上更为清晰优美的——建筑设计大概就是人类从诞生伊始就在经历的建造活动中的这些解题方法吧。


参考文献

注 1：《西方现代艺术词典》 四川文艺出版社；主编：邹贤敏；刘森辉，皮道坚，程克夷

注 2：《钢筋混凝土诗人——皮埃尔·鲁基·奈尔维》作者：肖世荣；《世界建筑》1981 年第 05 期，第 72 页

注 3：《路易 康的菲利普 ·艾塞特图书馆》作者：梁霞 张玉娥； 《山西建筑》第 30 卷，第 16 期，第 54-55 页；2004 年 8 月

注 4： SOM 事务所中文官方网站；美国空军学院——学员礼拜堂


via：https://www.zhihu.com/question/28547181/answer/182549283